Question 2

Énoncé

  Soit  \(\text{exp}\) la fonction définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que :  \(\begin{cases}\ \text{pour tout}\ x \in \mathbb{R}\ \text{exp'}(x)=\text{exp}(x) \\ \text{exp}(0)=1 \end{cases}\)

Dans cette activité, on admet que cette fonction existe et qu'elle est unique et on s'intéresse à ses propriétés algébriques.

Question 2. Une relation fonctionnelle
Soit  \(y\)  un réel. Soit  \(h\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par :  \(h(x)=\dfrac{\text{exp}(x+y)}{\text{exp}(y)}\) . 
    a. Justifier que la fonction  \(h\)  est dérivable sur  \(\mathbb{R}\)   et calculer sa dérivée. 
    b. Calculer  \(h(0)\) . 
    c. En déduire que  \(h(x)=\exp(x)\) . 
    d. Conclure que, pour tous réels  \(x\)  et  \(y\) ,  \(\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\) .

Cette relation, appelée relation fonctionnelle, peut se verbaliser ainsi :
"La fonction exponentielle transforme une somme en un produit"